1. Deriva la ecuación de un círculo a partir de un centro y un radio dados utilizando el Teorema de Pitágoras; completa el cuadrado para hallar el centro y el radio de un círculo determinados por una ecuación.

Ah, el círculo. La base de tantísimas delicias horneadas, rosquillas, pasteles, galletas y tartas. Siempre tan regular y semejante a todos sus circulares amigos. Trata tanto de adaptarse a la multitud, pero seguimos insistiendo en etiquetarlo, dándole una ecuación, metiéndolo en un horno a 360^o de 12 a 14 minutos y haciendo nuestro mejor intento por dejarlo enfriar antes de llenarnos la boca con su delicia.

Los estudiantes deben saber que la ecuación para un círculo es x² + y² = r². Tienes razón, tiene un siniestro tinte familiar. Como el Teorema de Pitágoras (a² + b² = c²). ¿No sería buenísimo si eso es todo lo que los estudiantes tuvieran que saber?

Ojlá fuera así de simple. En realidad, la ecuación para el círculo es (x –h)² + (y – k)² = r², donde (h, k) es el centro del círculo. Pero cuando el círculo se centra en el origen, o bien (0, 0), la ecuación se simplifica a x² + y² = r². Así que, de hecho, compararlo con el teorema de Pitágoras viene bastante bien, después de todo.

El círculo se centra en (2, 3) con un radio de 10, lo que significa que los estudiantes deben ajustar el lado izquierdo de la ecuación estándar del círculo. El ajuste debe reflejar la forma en la que vamos a tener que mover el círculo para que quede centrado en su origen. En este caso, dos a la izquierda y tres para abajo. Nuestra ecuación termina siendo (x – 2)² + (y – 3)² = r².

Para hallar el radio, los estudiantes pueden trazar un triángulo rectángulo dentro del círculo y utilizar el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa. Resulta que la hipotenusa también es el radio de nuestro círculo. Como la hipotenusa aquí es 10, nuestra ecuación es (x – 2)²+ (y – 3)² = 100.

Si a los estudiantes les resulta difícil recordar si deben sumar o restar sus h y k, pueden simplemente pensar "¿Cómo movería el centro al origen?" Por ejemplo, si el círculo estuviese centrado en (-5, -17), deberían ajustar el lado izquierdo diciendo "más 5" o "más 17," dado que tienen que mover el centro hacia arriba y a la derecha, ambas de las cuales son mociones positivas o, como nos gusta llamarlas, buenas vibraciones.

Tal vez tus estudiantes se encuentren en la afortunada situación de haber recibido una ecuación acompañada de la instrucción de hallar el centro y el radio del círculo que esa ecuación describe. Van a tener que empezar por completar el cuadrado en la ecuación para que puedan convertirlo en la forma estándar.

Si les resulta difícil resolver estos tipos de problemas, es posible que necesiten un breve repaso sobre cómo completar el cuadrado. Además, deben tener en cuenta que realmente están completando dos cuadrados, ya que tanto la x como la y están al cuadrado. Para ser un estándar sobre los círculos, estamos utilizando muchos cuadrados.