b. Completa el cuadrado de una expresión cuadrática para averiguar los valores máximo y mínimo de la función que define.

Antes de hablar de completar el cuadrado, recuérdales a tus alumnos lo del trinomio cuadrado perfecto. En términos generales, un trinomio cuadrado perfecto es una cuadrática de la forma m² ± 2mn + n², que se puede factorizar con la forma (m ± n)(m ± n) = (m ± n)².

Fíjate que la mitad del término del medio equivale a la raíz cuadrada del primer término multiplicada por la raíz cuadrada del último término. Este es un requisito para que una cuadrática se considere un trinomio cuadrado perfecto. No todas las cuadráticas son de esta forma. Se puede utilizar cierta manipulación algebraica para pasar cualquier ecuación cuadrática a una forma en la que uno de los lados sea un trinomio cuadrado perfecto. Eso se denomina "completar el cuadrado".

¿Y qué pasa con la ecuación y = x² – 4x + 3? Esta cuadrática es factorizable, como (x – 1)(x – 3). Está claro que no es un trinomio cuadrado perfecto, pero nadie es perfecto, ¿o sí?

Primero, sustrae 3 de ambos lados para obtener y – 3 = x² – 4x. Ahora, podemos agregar lo que se nos dé la gana en el lado derecho, siempre y cuando hagamos lo mismo en el lado izquierdo. Digamos que queremos un 4 donde antes había un 3 (porque 4 es un cuadrado perfecto para 2), entonces nos queda y – 3 + 4 =x² – 4x + 4. Ahora el lado derecho tiene la forma de un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como (x – 2)². Por lo tanto, nuestra ecuación es: y + 1 = (x – 2)².

Por cada valor de x que coloquemos en el lado derecho de la ecuación, hay un valor correspondiente para y en el lado izquierdo. Cuando x = -2, y debe ser igual a 15, por ejemplo. Fíjate que el lado derecho de la ecuación nunca es negativo, dado que estamos elevando al cuadrado un número y eso siempre produce un número positivo.

Lo mínimo que el lado derecho puede ser es 0 (cuando x = 2). Esto se va a traducir en el menor valor posible que y pueda ser (y + 1 = 0, lo que significa que y = -1). En términos matemáticos, este punto representa el valor mínimo de la función. En este caso, el punto (2, -1) representa el punto mínimo de nuestra parábola, que se denomina vértice.

Toda ecuación cuadrática tiene ya sea un mínimo o un máximo dependiendo de si la misma apunta hacia arriba o hacia abajo (si parece una cara feliz o triste). Fíjate que no habría sido fácil hallar las coordenadas del vértice a partir de y = (x – 1)(x – 3). Tuvimos que pasar la cuadrática a una forma distinta que destacara las coordenadas del vértice para poder extraer esta información.