c. Utiliza las propiedades de los exponentes para transformar expresiones para funciones exponenciales. Por ejemplo la expresión 1.15^t puede reescribirse como (1.15^1⁄₁₂)^12t ≈ 1.012^12t para averiguar la tasa aproximada de interés mensual equivalente si la tasa anual fuera del 15 %.

A estas alturas, los estudiantes deben comprender bien el concepto de los exponentes o la potencia a la que se eleva una cantidad. Hasta ahora, es probable que los exponentes siempre hayan sido números, por lo que es posible que los estudiantes no se den cuenta de que los exponentes también pueden ser variables.

Considera una expresión como rⁿ. La r se identifica como la base de la expresión, mientras que la n se identifica como el exponente. Dado que tanto r como n son variables, este es un tipo más generalizado de expresiones con exponentes que r² o x¹⁰, en los que la base es la variable y el exponente es un número. Estas expresiones generales se conocen como (no te lo vas a creer) expresiones exponenciales, mientras que se hace referencia a las otras como expresiones de las leyes de los exponentes.

Los estudiantes deben saber que las reglas para la manipulación de expresiones de las leyes de los exponentes también se aplican a las expresiones exponenciales. La siguiente tabla te brinda un resumen de dichas reglas:

Al multiplicar y dividir las expresiones exponenciales, al igual que con las expresiones de las leyes de los exponentes, las bases deben ser las mismas. Podemos utilizar las propiedades de las expresiones exponenciales para transformarlas en formas alternativas que nos permitan interpretar las expresiones de distintas maneras.

A todo el mundo le gusta ganar dinero, así que busquemos formas de hacerlo. No, no nos referimos a jugar a la lotería, porque eso es dejar todo al azar y la probabilidad. Lo que queremos es un crecimiento exponencial, que nos permita ganar un poco de money a la antigua: invirtiendo.

La expresión del interés compuesto nos permite calcular el nuevo valor de una inversión luego de cierto período de tiempo si se gana interés a una tasa determinada durante cada período de tiempo. Suena muy complicado, pero es bastante simple: P(1 + r)ⁿ. En esta expresión, P es la cantidad inicial o valor actual, r es la tasa de interés para cada período expresado en forma decimal y n es la cantidad de períodos durante los cuales se calculará el nuevo valor.
Concentrémonos en el segundo factor de la expresión: (1 + r)ⁿ.

 Como ejemplo, supongamos que abrimos una cuenta de ahorros que ofrece un interés del 15% por año. Es decir, nuestro dinero crece un 15% por año. Esto se representa con la expresión matemática (1 + 0.15)n = (1.15)n, en la que n es la cantidad de años durante los cuales permitiremos que esta cuenta crezca.

¿Qué sucedería si estuviéramos pensando en cambiarnos de banco y el nuevo banco ofreciera cuentas de ahorro, pero expresara sus tasas de acuerdo con una base mensual en lugar de anual? Por supuesto que queremos que nos den la mayor tasa de interés, ya que esa es la forma en la que nuestro dinero crece. ¿Cómo, entonces, podríamos comparar las dos?

Utilizamos la función exponencial. Si queremos que nuestros períodos sean en meses, debemos transformar nuestra expresión exponencial para que sea en base mensual. Hay 12 meses en un año. Por lo tanto, si la cuenta acumula interés por n años, la misma acumula interés por 12n meses. El exponente de nuestra expresión transformada debe ser 12n.

Sin embargo, no podemos solo cambiar el exponente sin modificar también la parte dentro del paréntesis, porque podríamos terminar creando una expresión totalmente distinta. Para equilibrar la multiplicación del exponente por 12, tenemos que dividir cualquier otro exponente dentro del paréntesis por 12. Si bien no está escrito, hay un exponente allí, dado que 1.15¹ = 1.15. Por lo tanto, el nuevo exponente dentro del paréntesis debe convertirse en y la expresión exponencial transformada es  .

Si siguen la regla que indica que para elevar una expresión exponencial a una potencia hay que multiplicar los exponentes, los estudiantes pueden verificar que se puede volver a obtener la expresión original. Con una calculadora, podemos evaluar . La expresión final, con relación a períodos mensuales es (1.012)¹²ⁿ = (1 + 0.012)¹²ⁿ. Si la tasa anual es del 15 %, la tasa mensual equivalente es de 1.2 % y ahora la podremos comparar con lo que ofrece el otro banco.