4. Deriva la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1) y utiliza la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcula las cuotas de una hipoteca.

Aunque los estudiantes no se den cuenta, ya saben mucho acerca de las secuencias y las series. Además de aparecer por televisión, en la música y por toda la Internet, también les enseñamos sobre las series y las secuencias entre la hora de la siesta y el momento de hacer manualidades con fideos. Una secuencia puede llegar a ser tan simple como uno, dos, tres.

En matemáticas, una secuencia o progresión es un grupo de números que se colocan uno tras otro. En muchos casos, se puede determinar un miembro particular de una secuencia con solo observar su ubicación, al igual que cuando se cuentan los números naturales. La secuencia comienza con el número 1 y cada uno de los siguientes miembros de la secuencia se puede hallar tomando el miembro anterior de la secuencia y agregándole 1.

Los estudiantes deben saber la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica. En las progresiones aritméticas, los miembros sucesivos tienen una diferencia común. Es decir, la diferencia entre cada miembro y el miembro anterior es un valor constante. En las progresiones geométricas, todos los números tienen una razón común, lo que significa que el cociente de cada miembro y el del miembro anterior es un valor constante. 

Lo mejor es darles varios ejemplos de progresiones y series tanto geométricas como aritméticas y, al final, la fórmula para cada una. Por ejemplo, si a es el primer término de una serie aritmética y la diferencia común es d, entonces la serie sería la suma de a, a + d, a + 2d, a + 3d, y así de manera sucesiva. Para la progresión geométrica con una razón común r, tendríamos a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, y así sucesivamente.

Fíjate que el primer miembro de la progresión no tiene factores de r. El segundo miembro tiene 1 factor de r, el tercero tiene 2 factores de r, el cuarto tiene 3 factores de r, etcétera. El número de factores de r siempre es uno menos que el número de ese término de la progresión en particular Si n representa el número del no miembro de la progresión, entonces ese número tiene un valor de arⁿ – 1.

Los estudiantes deben saber que una serie es la suma de los miembros de una progresión. Podemos formar sumas tanto de progresiones geométricas como aritméticas. En el caso de una progresión geométrica de términos n, podemos escribir la serie así: s_n =a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ +ar⁵ + ... + ar^{n – 1}.

No pasa nada si tenemos 6 o 7 términos, pero imagínate si tuviéramos que utilizar esto para calcular una serie con 100 términos o 200 términos o una cantidad infinita de términos. Sería terrible, por no decir muy agotador de calcular a mano. Por suerte, no tenemos que hacerlo, porque podemos hacer un poquito de magia para simplificar esta expresión. (En realidad, no se trata de magia, pero no se lo digas a tus alumnos porque algunos de ellos todavía están esperando la invitación al Colegio Hogwarts y esto es lo más cerca que estarán de esa meta).

Tomemos la expresión de la serie y multipliquémosla por la razón común, r.

rs_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴+ ar⁵ + ar⁶ + ... + arⁿ

Fíjate que la cantidad de factores con r de cada término de la suma aumentó en 1. Ahora, tomemos nuestra expresión original de s y restémosle esta nueva expresión. No hay ninguna ley que no nos permita hacerlo, ¿no?

s_n – rs_n = (a + ar + ar² +ar³ + ar⁴ + ar⁵ + ... + ar^{n– 1}) – (ar + ar² + ar³ + ar⁴+ ar⁵ + ar⁶ + ... + arⁿ)

Fíjate que, a excepción del primer término de la expresión de s y el último término de la expresión de rs, hay términos correspondientes en ambos grupos de los paréntesis. Esto significa que todos esos términos se anulan y nos queda s_n – rs_n = a– arⁿ.

Entonces, podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación así s_n(1 – r). El dividir ambos lados por 1 – r y factorizar a en el numerador del lado derecho nos brinda una forma mucho más simple de hallar la suma de la serie geométrica.

Seguro que tus alumnos ya te están aplaudiendo. Sabemos lo difícil que es competir con el Colegio Hogwarts, pero ¡vamos! Está claro que estas matemáticas no están hechas para meros muggles.

Sin embargo, hay algo con lo que debemos tener cuidado. Fíjate que dividimos por 1 – r. Si r = 1, tendríamos grandes problemas, puesto que sería dividir por 0. Por lo tanto, tenemos que fijar una restricción a esta fórmula, ya que utilizarla cuando r = 1 puede hacer que reaparezca el innombrable.

Las series geométricas aparecen en muchos lugares, pero uno de los casos que afecta a casi todo el mundo es el área de finanzas o economía. Los cálculos de los pagos de un préstamo (por ejemplo, hipotecario) con frecuencia utilizan series geométricas.

Supongamos que sacaste un préstamo de $200,000 para comprarte un dragón. Puede parecer caro, pero vale la pena si vuelas con frecuencia. Además, es un dragón.

Esta bestia de préstamo de $200,000 tiene una tasa fija de interés a 30 años de 3.6 % por año a pagar cada mes. Por norma, esto significa que cada mes una tasa de interés de 0.036 ÷ 12 = 0.003 o 0.3 % se le aplicará al capital para calcular el pago del interés de dicho mes. Esto continuará cada mes hasta cumplir el plazo de 30 años, que es (12)(30) = 360 meses. Si m es el monto mensual, P es el capital del préstamo, r es la tasa y n es la cantidad de meses, podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular la cantidad mensual.

Hay calculadoras en la Internet capaces de hacer este tipo de cálculo, pero es bueno entender cómo se hace el cálculo para que tus alumnos puedan verificarlo por sí mismos. En cuanto a los dragones, nadie quiere pagar de más. Pensándolo bien, esto aplica a cualquier compra.