3. Identifica los ceros de los polinomios cuando haya factorizaciones apropiadas y utiliza los ceros para construir un bosquejo gráfico de la función que define el polinomio.

En términos sencillos, este estándar se trata de la factorización de polinomios y de hallar sus ceros. Ya era hora, porque puede ser frustrante lidiar con estudiantes que dicen que x³ – 10x² – 2x + 24 tiene 1 cero porque contiene 10x². Puede causar tal frustración que quizá podrían darte ganas de cambiar el trabajo de la enseñanza por un puesto en el circo; ahí por lo menos te tomarían más en serio.

Primero, tus alumnos deben saber que hallar los ceros de un polinomio no significa contar cuántos ceros ven. Eso no es álgebra, sino contar.

Los ceros de un polinomio son los valores de x cuando hacemos que el polinomio en sí equivalga a cero. Es decir, al reemplazar cualquiera de los ceros de un polinomio por la x, nuestra respuesta debería ser 0. Por lo tanto, los ceros de x³ – 10x² – 2x + 24  son los valores x que hacen que la ecuación x³ – 10x² – 2x + 24  = 0 sea cierta.

¿Por qué son importantes los valores de cero? En el plano cartesiano, son los puntos en los que la función cruza el eje x. Los ceros del polinomio (también denominados soluciones o "raíces") son las intersecciones con el eje x de la gráfica.

Para hallar los ceros, los estudiantes deben simplificar los polinomios en factores lineales (en los que la x esté elevada a la primera potencia). Luego, haciendo que cada factor lineal equivalga a 0 y resolviendo la variable, obtendremos las intersecciones con el eje x, que se pueden utilizar para representar la función en términos gráficos.

Los estudiantes también deben tener una idea aproximada de la apariencia de cada polinomio expresado en una gráfica. Las funciones lineales producen rectas, las funciones cuadráticas producen parábolas, etcétera. No tienen que saber con exactitud qué término afecta qué aspecto de la gráfica, pero sus respuestas no deben parecer un juego de unir los puntos.

Por ejemplo, nos dicen que hagamos una representación gráfica de la función que define el polinomio x² + 5x+ 6. Los estudiantes deben sentirse cómodos factorizándolo hasta convertirlo en un producto de dos factores lineales. (x + 2)(x + 3). Resolver la ecuación x²+ 5x + 6 = 0 sería difícil, pero (x + 2)(x + 3) es mucho más fácil.

El polinomio completo equivale a 0 cuando cada factor individual equivale a 0. Eso nos da x + 2 = 0 y x + 3 = 0, o x = -2 y x = -3. Por consiguiente, nuestras intersecciones con el eje x se encuentran en x = -2 y x = -3. Si sabemos dónde se encuentran estas intersecciones, es más fácil hacer la representación gráfica de la función.

Asegúrate de darles a tus alumnos polinomios que puedan factorizar. Darles algo como x⁵ + 9x⁴ – 17x³ + 2x² + 1 sería una crueldad si solo aprendieron a factorizar expresiones cuadráticas.