5. Conoce y aplica el Teorema del Binomio para la expansión de x + y)ⁿ en potencias de x e y para un número entero positivo n, en el que x e y son números con coeficientes determinados; por ejemplo, por el Triángulo de Pascal.

El Teorema del Binomio y el Triángulo de Pascal son conceptos muy importantes por dos razones: ante todo, porque se escriben con mayúscula y cuando las palabras se escriben con mayúscula es sabido que son gran cosa. Por otra parte, tanto el Teorema del Binomio como el Triángulo de Pascal facilitan muchísimo la expansión de los polinomios.

Los alumnos deben poder expandir (x + y)ⁿ utilizando el Triángulo de Pascal, en el que x e y pueden ser cualquier cosa. El Triángulo de Pascal brinda los coeficientes para la expansión y el Teorema del Binomio explica el Triángulo de Pascal. Van juntos como ramma lamma lamma ke ding a de dinga dong…o lo que sea que dice la canción.

El Teorema del Binomio se puede explicar utilizando combinaciones, en general, porque son las más fáciles de visualizar y explicar. Tirar una moneda al aire es un buen ejemplo, puesto que tiene dos lados.

¿Cuantas combinaciones hay con 1 cara y 2 cruces? Podría ser CaCrCr, CrCaCr y CrCrCa. Hay tres combinaciones posibles. Podemos asignar valores a nuestra cantidad total de intentos (n = 3) y a nuestra cantidad total de resultados deseados (cara, por ejemplo, sería k = 1).

La anotación _nC_k es una forma de decir: "La cantidad de combinaciones distintas que podemos tener si, de n cantidad de pruebas, nuestro resultado deseado ocurre k veces." Por ejemplo, podemos usar _nC_k si arrojamos una moneda al aire n veces y queremos averiguar de cuántas formas podemos tener k caras (o k cruces, lo que quieras). Podemos calcular _nC_k utilizando la fórmula

Esos signos de exclamación no están ahí solo porque nos gustan la n y la k, sino que es jerga matemática para decir "factorial," que se traduce en n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1. Pero, si quieres, puedes entusiasmarte por la n y la k.

En nuestro ejemplo de tres lanzamientos de moneda al aire (n = 3) y 1 cara (k = 1), esto equivale a

Hay 3 formas posibles de obtener 1 cara en 3 tiradas de moneda al aire.

Podemos utilizar la misma lógica al expandir (x +y)ⁿ. Por ejemplo, ¿cuántas veces podemos obtener 3x y 2y? (Ten en cuenta que hay la misma cantidad de formas de obtener 2 x que 3 y). Esto se puede escribir así ₅C₃, que equivale a

Ahora pensemos en todas las formas de obtener k x y (n – k) y de una cantidad de resultados n.

Cuando n = 0, podemos tener ₀C₀, que equivale a 1. Nuestros valores para n = 2 son ₁C₀ y ₁C₁, ambos de los cuales también equivalen a 1. Dado que n = 2, 2C0 y ₂C₂ equivalen a 1, pero ₂C₁ equivale a 2. Los alumnos deben saber si continuamos calculando así, obtendremos el Triángulo de Pascal, en el cual cada número representa la suma de los dos números que tiene arriba.

Usemos el Triángulo de Pascal para expandir (x + y)^5.

(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ +y⁵

Los coeficientes de cada término corresponden a la hilera del Triángulo de Pascal en el cual n = 5. Los exponentes de las x comienzan por n y van disminuyendo a 0, mientras que el orden de las y comienzan en 0 y aumentan hasta llegar a n. Genial, ¿no?