7. Comprende que las expresiones racionales forman un sistema análogo a los números racionales, que es cerrado bajo la suma, la resta, la multiplicación y la división por una expresión racional diferente de cero; suma, resta, multiplica y divide expresiones racionales.

Una expresión racional es cualquier polinomio dividido por cualquier polinomio, excepto cero. Si tus alumnos todavía no lo saben, dividir por cero es catastrófico. De hecho, muchos matemáticos reconocidos creen que el apocalipsis será producto de dividir por cero.

Los estudiantes deben entender que las expresiones racionales están cerradas bajo la suma, la resta, la multiplicación y la división, lo que significa que:

• Una expresión racional más una expresión racional es una expresión racional.
• Una expresión racional menos una expresión racional es una expresión racional.
• Una expresión racional multiplicada por una expresión racional es una expresión racional.
• Una expresión racional dividida por una expresión racional es una expresión racional.

Es lo más racional.

También deben saber cómo sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales. En realidad, no es tan distinto de la suma, la resta y la multiplicación de polinomios. Lo único nuevo es que estamos agregándole la división.

Representemos una expresión racional así:

En este caso, podríamos preocuparnos de los restos, pero mantener las expresiones racionales como fracciones nos ayudará a la larga. De hecho, las expresiones racionales y las fracciones son casi idénticas en lo que respecta a la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Si queremos sumar o restar 1⁄4 y 2⁄5, primero tenemos que hallar un común denominador. Solo después de que ambas tengan un denominador de 5 × 4 = 20 podemos sumarlas o restarlas. Sin embargo, no se necesita común denominador para multiplicar 1⁄4 y 2⁄5. No hay más que multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. En el caso de la división, es más fácil optar por invertir la segunda fracción y luego multiplicar, de modo que 1⁄4 ÷ 2⁄5 se convierte en 1⁄4 × 5⁄2.

Ahora, ¿adivina qué? Las expresiones racionales son idénticas, solo que los números enteros se reemplazan por polinomios. En otras palabras, las reglas se simplifican así:

En cada uno de los casos, terminamos con un polinomio dividido por otro polinomio, que es una expresión racional. Dado que los polinomios se pueden definir en cualquier parte, no podemos tener ninguna x debajo del radical. Siempre y cuando los alumnos sepan multiplicar y factorizar polinomios, no van a tener ningún problema con las expresiones racionales.