6. Reescribe expresiones racionales simples de distintas formas; escribe ^a(x)⁄_b(x) con la forma de q(x) +^r(x)⁄_b(x), en la que a(x), b(x), q(x), y r(x) son polinomios de grado r(x) menor que el grado de b(x), utilizando inspección, división larga o, en ejemplos más complicados, un sistema algebraico computarizado.

Este estándar es como la máquina de Rube Goldberg: parece mucho más complicado de lo que, en realidad, es.

Todo se reduce a la división de polinomios y la expresión correcta de la respuesta. Habiendo pasado por tercer grado, los estudiantes ya deben haber visto un poco la división y las fracciones. De cierta forma, se trata de una continuación del Teorema del resto; por lo tanto, te recomendamos que antes lo repases.

Los estudiantes ya deberían saber cómo dividir polinomios factorizándolos o por medio de la división larga. Como en toda división, no todas serán perfectas y quedará un resto. En lugar de solo escribir el resto, ahora esperamos que los estudiantes le den algún uso.

Supongamos que estamos dividiendo a(x) por b(x) y nuestra respuesta es q(x) con resto de r(x). Al igual que con el Teorema del Resto, si r(x) = 0, entonces b(x) es factor de a(x). Eso ya lo sabemos.

Pero, ¿qué pasa si b(x) no se divide por a(x) con un resto de 0? Bueno, al igual que si simplificamos ¹³⁄₄ a 3 con un resto de 1 o de 3¼, podemos escribir ^a(x)⁄_b(x) como q(x)  con un resto de r(x), o ^r(x)⁄_b(x). Así como un resto de 1 dividido por 4 equivale a ¼, un resto de r(x) dividido por b(x) nos da ^r(x)⁄_b(x).

Toda esa habladuría de que el grado de r(x) es menor que el grado de b(x) solo significa que r(x) debe ser "menor" que b(x). No tendría ningún sentido partir ¹³⁄₄ en 2 ⁵⁄₄ porque aún podemos dividir 5 por 4. La idea es la misma, solo que al mejor estilo polinómico.

Te sugerimos que asocies estos cocientes de polinomios con fracciones de números enteros para que tus alumnos no se sientan abrumados. Es lógico que se sientan confundidos si les lanzamos siete funciones distintas, pero serán mucho más receptivos si trabajan con conceptos que ya conocen.

Además, los estudiantes no deben temerle al gran monstruo de la división larga. Con frecuencia, la factorización es casi imposible de descifrar cuando quedan restos y hay veces en las que la división sintética no funciona. Si los estudiantes ceden ante la división larga y la adoptan, tendrán una vida mucho más feliz.