10. Comprende que la representación gráfica de una ecuación en dos variables equivale al grupo de todas las soluciones trazadas en el plano cartesiano que con frecuencia forman una curva (también puede ser una recta).

Los estudiantes deben entender que las ecuaciones con dos variables se pueden representar en una gráfica. La forma que resulta en el plano cartesiano es una representación visual de todas las soluciones de esa ecuación.

¿Qué significa eso? ¡Significa que esto no se trata de sacar conejos del sombrero! Las ecuaciones tienen, en efecto, un significado visual.

Una ecuación con dos variables puede ser cualquier elemento de y = x to x² + y² = 4 a 19x¹³ = y. Algunas son más simples que otras, por supuesto, pero todas tienen una x y una y.

Eso significa que, en lugar de tener una ecuación con una variable (y por lo tanto una solución), podemos tener muchas soluciones distintas. En términos gráficos, podemos representar estas soluciones dibujando una curva o recta a través de todos los pares de soluciones (una para x y una para y) que funcionan para esa ecuación en particular.

Tomemos la ecuación 7x – 18 = y y veamos cómo podemos representarla en una gráfica.

¿Cómo podemos comprobarle a un estudiante que es cierto que una recta de una ecuación con dos variables demuestra todas las soluciones al ser representada en una gráfica? Enseñándole a sacar por sí mismo el conejo del sombrero.

Dado que dos puntos cualesquiera definen una recta, lo único que debemos hacer es introducir dos valores para x y ver cuáles son los valores generados de y. Seleccionaremos dos puntos solo para asegurarnos que nuestra gráfica es una recta y no una extraña curva.

Elijamos los números -1, 0, y 3 para x. Introduciendo los números para x en nuestra ecuación 7x – 18 = y nos da -25, -18, y 3 para los valores de y. Por lo tanto, los puntos de nuestra gráfica se convierten en (-1, -25), (0, -18), y (3, 3). Si representamos lo anterior en términos gráficos en el plano de coordenadas x-y, obtendremos esto:

Si tus alumnos no te creen, pruébales que la ecuación y la gráfica se corresponden. Toma un punto de la recta que se pueda identificar con facilidad, digamos (2, -4), e introduce los valores en la ecuación. Al hacer eso, tendremos -4 = 7(2) – 18, que se simplifica a -4 = -4. De esta forma, los estudiantes se asegurarán de que los puntos en la recta o curva son soluciones válidas para la ecuación y viceversa. 

Pero no te detengas allí: también es importante probar lo contrario. Por ejemplo, la coordenada (4, 1), que no está en la recta, tampoco es una solución para nuestra ecuación. Si introducimos las coordenadas, podremos confirmarlo: 1 = 7(4) – 18 es falso porque 1 ≠ 10. Esto significa que (4, 1) no es una solución a nuestra ecuación y no es un punto en la recta.

Y ahora puedes felicitarte y probarles a tus alumnos que los maestros no se la pasan haciendo trucos de magia. Todo en las matemáticas funciona como debe funcionar.

Este método puede aplicarse a ecuaciones de dos variables de mayor grado. Los estudiantes ya deben saber y asociar las formas genéricas de estas ecuaciones (como las cuadráticas que forman una parábola). De lo contrario, deberán representar varios puntos antes de verificar la gráfica que corresponde con la ecuación en particular.