7. Resuelve un sistema simple que conste de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables de manera algebraica y gráfica. Por ejemplo, halla los puntos de intersección entre la recta y = -3x y el círculo x² + y2 = 3.

Los estudiantes deben saber que esta es una pequeña ampliación del estándar anterior. El único cambio es que, en lugar de tener dos rectas, tendremos una ecuación lineal (una línea recta) y una ecuación cuadrática (una línea no tan recta). No es gran cosa.

En los términos más simples posibles, la ecuación cuadrática no es más que una ecuación lineal con un signo al cuadrado sobre la variable. Puede tener más términos, pero, siempre que el mayor exponente sobre una variable sea 2, se trata de una ecuación cuadrática. Simple, ¿no?

Los estudiantes deben saber la fórmula cuadrática:

De hecho, no estaría mal que se la tatuaran en la cara. Sería una buena forma de romper el hielo en las fiestas.
Las variables en la ecuación cuadrática (que denominamos con cariño a, b, y c) se derivan de nuestra ecuación cuadrática estándar  ax² + bx + c = 0.

Utilicemos el mismo problema del estándar propiamente dicho como ejemplo. Tenemos y = -3x como nuestra ecuación lineal, y x² + y² = 3 como nuestra cuadrática. (En términos técnicos, la segunda ecuación no es una "verdadera" cuadrática, pero no vendría nada mal torturar a tus alumnos un poquito más para enseñarles un poquito más. Lo de torturar es solo por decir algo).

Si representamos lo anterior en una gráfica, ya podremos ver que tenemos dos puntos de intersección.

Podemos comprobar la razón por la que esto es cierto en el sentido algebraico y calcular los puntos exactos de la intersección. Primero, podemos resolver nuestra cuadrática como lo hicimos con las ecuaciones lineales: sustituyendo una ecuación por otra.

Esto convierte x² + y² = 3 en x² + (-3x)² = 3. Por último, podemos utilizar el formato ax² + bx + c = 0 (que termina siendo 10x² – 3 = 0) para poder usar la fórmula cuadrática. En nuestro caso, a = 10, b = 0, y c = -3.

Si introducimos esos valores en la fórmula cuadrática, obtendremos

x ≈ ±0.55

Dado que ahora sabemos lo que vale x, podemos introducir esos valores en nuestra ecuación y = -3x para obtener nuestras respuestas de ±1.64. Eso significa que nuestros puntos de intersección son (-0.55, 1.64) y (0.55, -1.64). Coincide con la gráfica y eso quiere decir que ya terminamos.

Los estudiantes también deben utilizar el discriminante para averiguar si la recta y la cuadrática se cruzan una vez, dos veces o no se cruzan. El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática que está debajo del radical: b² – 4ac.

Si el valor del discriminante es menor que 0, no hay puntos de intersección. Si la respuesta es igual a 0, hay un punto de intersección (una tangente). Si la respuesta es mayor que 0, hay dos puntos de intersección.

El valor de nuestro discriminante es (0)² – (4 × 10 × -3) = 120. Eso significa que hay dos puntos de intersección. Utilizando la gráfica, la fórmula cuadrática y este pequeño chisme, controlamos nuestra respuesta por triplicado. Imposible ser más meticulosos.