9. Halla la inversa de una matriz, si la hay, y utilízala para resolver sistemas de ecuaciones lineales (emplea tecnología en las matrices de dimensión 3 x 3 o mayor).

Aquí es donde suceden los verdaderos cálculos; por fin, llegamos a lo divertido. Es posible que tus alumnos piensen distinto, pero nosotros sabemos la verdad.

Los estudiantes ya deben saber cómo formar una ecuación matricial de AX = B a partir de un sistema de ecuaciones lineales y estar familiarizados con el concepto de las matrices inversas. Utilizarán la inversa de una matriz para resolver las variables de la matriz que se forma a partir de ecuaciones dadas.

Los estudiantes deben saber que si el determinante de una matriz cuadrada es cero (ad – bc = 0), no hay inversa para dicha matriz. Una matriz que adopta la forma

tiene una inversa de

Suponiendo que ya tradujimos nuestras ecuaciones -2x + y = 5 y -3x + y = -2 en forma de ecuación matricial, podemos hallar la matriz inversa de la matriz A (la que tiene todos los coeficientes).

Primero, tomamos la matriz y hallamos su determinante. Eso sería -2 × 1 – 1 × -3 = -2 + 3 = 1. Existe la matriz inversa. Ahora, ¡démosle vida a nuestra creación! Después de cambiar los números, tenemos que multiplicar por la inversa del determinante, que es 1⁄1 o solo 1. Por lo tanto, nuestra matriz inversa está bien tal cual es.

Ahora que tus alumnos hallaron la matriz inversa, ¿qué sigue? El objeto de este proceso es hallar los valores de x e y. (Deben tomar nota de eso; es importante.) Para lograrlo, podemos multiplicar la matriz inversa que hallamos por la matriz B (la que tiene todas las soluciones). Eso nos daría los valores de x e y.

Nos da 1 × 5 + (-1 × -2) = 5 + 2 = 7 = x, y 3 × 5 + (-2 × -2) = 15 + 4 = 19 = y. Si introducimos esos valores en la ecuación lineal original, deben dar el resultado deseado.

Si bien este método puede parecer algo engorroso, los estudiantes deben valorar que es de especial utilidad para sistemas de ecuaciones con muchas, muchas variables. Por otra parte, las inversas de matrices mayores de 2 × 2 deben calcularse utilizando la tecnología. No obstante, su propósito es el de ayudarlos a resolver los valores de las variables.